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🔴 Mathmap Plan\#

If you want to build a math world, what would you start with ?

The first three most important things I think must be :

  1. Natural number, and we’re going to start to re-understand it with Peano axioms
  2. Natural logarithm of \(e\)
  3. And \(\pi\)

All of the three can be described as Eula’s fomula : $$ e^{ix} = \cos x + i\sin x $$ And the special situation is : $$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$

Natural number -> Integer -> Rational number -> Real number -> Complex number

已知的数学分支：

  • Number theory
  • Geometry
  • Algebra，其中需要掌握的有group theory, field theory, vector spaces and linear algebra, boolean algebra
  • Calculus and analysis，其中Integration, measure theory and potential theory都与probability theory on a continuum密切相关
  • Discrete mathematics，Graph theory, Game theory
  • Mathematical logic and set theory，参见Cantor's diagonal argument
  • Statistics and other decision sciences，重点关注optimization, operations research, control theory

数轴上取任意一点\#

这个数为有理数的概率为0，为无理数的概率为1

所有有理数构成的集合是一个零测集Null set

可数无穷 \(\aleph_0\)

希尔伯特旅馆：

将无穷多个房间一一编号，然后给客人安排房间

将这些客人的与房间一一对应，也就是可以将所有的房间看作一个集合，客人当作一个个正整数，让它们形成一一对应的映射

graph LR

    subgraph 旅馆 
        direction LR %% <-- here
        旅馆 --> 1 --> 2 --> 3 --> 4 --> 5 --> 6 --> 7 --> 8 --> 9 --> ...
    end

    subgraph 客人 
        direction LR %% <-- here
        客人 --> A((1)) --> B((2)) --> C((3)) --> D((4)) --> E((5)) --> F((6)) --> G((7)) --> H((8)) --> I((9)) --> J((...))
    end

    1 -.-> A
    2 -.-> B
    3 -.-> C
    4 -.-> D
    5 -.-> E
    6 -.-> F
    7 -.-> G
    8 -.-> H
    9 -.-> I

当新来客人时，所有的客人只需按照序号往后移一位即可为新来的客人腾出空的1号房间

也即：

\[ \aleph_0 + 1 = \aleph_0 \]

同理：

\[ \aleph_0 + k = \aleph_0 \]

将上述规律扩展到整数，只需将编号为\(x\)的客人搬到编号为\(2x\)的房间中，这样就能为对应的自然数以外的客人腾出奇数号的房间，即：

\[ \aleph_0 +\aleph_0 = \aleph_0\\ 2\times \aleph_0 = \aleph_0 \]

由此可以看出，正整数和整数是一样多的，无穷集中，整体等于部分

接下来，尝试： $$ \begin{bmatrix} (1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)&(1,7)&(1,8)&(1,9)&\cdots\ (2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)&(2,7)&(2,8)&(2,9)&\cdots\ (3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)&(3,7)&(3,8)&(3,9)&\cdots\ (4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)&(4,7)&(4,8)&(4,9)&\cdots \end{bmatrix} $$ 将这样一个阵列的客人安排进旅馆，即有限个旅游团的客人，每个旅游团都有无穷多个客人

可以采用康托的对角论证法，这是乔治·康托尔于1891年提出的用于说明实数集合是不可数集的证明 $$ \aleph_0 \times \aleph_0 = \aleph_0 $$

由这个式子可以得知，任意有限次数的\(\aleph_0\)都是\(\aleph_0\) $$ \aleph_0^x = \aleph_0 $$ 其中\(x\)为实数(?以我的知识水平还不能保证)

精妙的证明 $$ \begin{bmatrix} 1/1&½&⅓&¼&⅕&⅙&1/7&⅛&1/9&\cdots\ 2/1&2/2&⅔&2/4&⅖&2/6&2/7&2/8&2/9&\cdots\ 3/1&3/2&3/3&¾&⅗&3/6&3/7&⅜&3/9&\cdots\ 4/1&4/2&4/3&4/4&⅘&4/6&4/7&4/8&4/9&\cdots \end{bmatrix} $$ 这样，我们就找到了所有有理数的编号，对于其中相等的分数，我们只取分子分母互质的一个： $$ \begin{bmatrix} 1/1&½&⅓&¼&⅕&⅙&1/7&⅛&1/9&\cdots\ 2/1& &⅔& &⅖& &2/7& &2/9&\cdots\ 3/1&3/2& &¾&⅗& &3/7&⅜& &\cdots\ 4/1& &4/3& &⅘& &4/7& &4/9&\cdots \end{bmatrix} $$ 然后我们再用康托三角形的方式安排进旅馆，就可以给有理数一个唯一的编号

image-20231224233015208

不可数无穷

设想有无穷多个房间的希尔伯特的旅馆，现在每个房间都有开灯和不开灯两种状态，那么对于这可数无穷多个旅馆\(\aleph_0\)有\(2^{\aleph_0}\)种状态，我们以二进制的状态来记录每一种情况，这样的每一种情况形如: $$ 0.10010111110000011010101111\cdots $$

用下面的脚本转换成十进制小数

# This is a script for a binary number transformed to a decimal number

binary_string = '0.10010111110000011010101111'
int_part, frac_part = binary_string.split('.')
int_part_decimal = int(int_part, 2)
frac_part_decimal = sum(int(bit) * 2**(-i-1) for i, bit in enumerate(frac_part))
decimal_number = int_part_decimal + frac_part_decimal

print(f"十进制数: {decimal_number}")

我们将每一个二进制小数都写成十进制，如上面这个示例的小数，其值 $$ \approx 0.5927989333868027 $$

\[ 2^{\aleph} \ne \lim_{n \to \infty}2^{n} \]

连续线段上的所有实数点：\(2^{\aleph_0}\)

image-20231225001816198

上面一根较短的线段，势为\(2^{\aleph_0}\)，下面一根长度为其2倍的线段，势为\(2\times 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+1}\)，由上面我们得到的性质，可以得知这两根线段的势是相等的

image-20231224234539815

在这样一条有限长的弧线和无限长的直线中，它们依然有相同的势

同理，对于一个二维的阵列\(X\)，它的势为 $$ 2{\aleph_0}\times2 $$ 另外一种思路，建立二维图形与一维线段的一一对应：} = 2^{2\aleph_0} = 2^{\aleph_0

取出其中一个点的横纵坐标\((x,y)\)，我们将这两个坐标的每一位都分开，然后让这两个坐标的数字隔一个穿插进去，形成一个新的小数，以此来定位到这个0到1的长度的线段的位置

不可数无穷的集合可见康托尔集

Cantor_set_in_seven_iterations

康托尔集按照上面的旅馆房间开关灯很好理解，我们把这三段分别标为0, 1, 2，然后抠掉其中的1，这实际上不就是二进制吗？最后康托尔集会形成无穷多个点，而这每一个点都是可以从下往上溯源的，反过来从上往下去对应每一个点，都面临一次二选一的选择

这两段无限可分的线段，每一次的分割，我们从纵向看从上往下，每一行正是代表着希尔伯特的旅馆中的按序列增长的房间 $$ P = \lim _{x\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^x = 0 $$ 可以发现，从数轴上任意取一个点，这个点在康托尔集中的概率为0

References\#

  1. 【无痛高数】所有数都是无理数？有关无限所有困惑的答案（上）
  2. 这是人类可能永远无法回答的数学问题
  3. Cantor's diagonal argument
  4. Null set
  5. Cantor set

分形请见：Mandelbrot set 曼德尔布罗特集

有理数集参见：高等【树】学：树林里竟然藏着有理数的秘密？

进一步学习参见：有理数稠密性以及稠密集

需要了解的数学家

  • 欧几里得
  • 欧拉
  • 柯西
  • 伽罗瓦
  • 傅立叶
  • 拉普拉斯
  • 伯努利
  • 黎曼
  • 高斯
  • 阿贝尔
  • 拉格朗日