🟠 PID 算法

\(PID\)(Proportional integration differentiation)算法是一种应用非常广泛的控制算法，\(PID\)是一种闭环的控制算法，输入会收到输出的影响，让输出不断接近设定的期望值

根据英文原名：proportional, integration, differentiation，顾名思义就是比例、积分和微分控制

数学表达式： $$ u(t) = K_p[err(t)+\frac{1}{T_i}\int_0^t err(t)\mathrm dt + T_d\frac{\mathrm d err(t)}{\mathrm d t}] $$ 在离散系统中，有： $$ u_k = K_p*err_k + K_i\sum_{j=0}^k err_j + K_d(err_k -err_{k-1}) $$ 我们可以在式中看到，整个算法是由$P, I, D $三种算法组成

数学解释

P算法

Proportional顾名思义就是对误差\(err_k\)取一定比例，来进行适当的调节

我们先看离散系统中的表达： $$ K_p*err_k $$ 其中\(err_k\)表示误差，易看出误差越大，\(P\)的输出也越大

因此P算法是用来纠正理论值与实际值的差距的

D算法

Differentiation就是导数的意思，我们从离散形式上也可以看的出来： $$ K_d(err_k - err_{k-1}) $$ 这个式子采用了相邻的两次误差的差值，差值越大，D的输出也越大，反应了瞬时的变化

我们可以看出，\(D\)算法的作用大致可以描述为阻尼，如果系统误差很大，或者\(P\)参数较大，那么\(P\)的输出会比较大，从而会导致系统的剧烈响应，也就是会非常剧烈地震荡，不够稳定，\(D\)算法在这其中就起到了阻尼的作用，使响应平稳

调节\(D\)算法，使得\(P\)算法的作用减弱

I算法

Intergation就是积分，在离散形式下就是求和： $$ K_i\sum_{j=0}^k err_{j} $$ 对误差的求和，也就是对误差的累加：如果存在误差（稳态误差），那么不论误差有多小，\(I\)的输出也会像滚雪球一样越滚越大

\(I\)算法的作用就是消除稳态误差，通过对误差的累加，可以实现对误差的放大作用，在很多情况下\(P\)算法的精度不足以达到完美控制，总有最后一点点小的稳态误差导致怎么都对不上，而\(I\)算法就是用来弥补上这一缺陷的，从而达到精确控制