# 反常积分、特殊函数与参数方法

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这章把分散的对数正弦积分、Dirichlet 积分、高斯积分、Gamma/Beta 函数、Frullani 公式及若干积分综合题连成**处理困难积分的共同工具链**。

## 1. 先问积分是否存在

对无穷区间，

$$\int_a^\infty f(x)\,dx:=\lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx.$$

对有限端点的奇点也应单侧取极限。若使用交换求和与积分、交换重积分次序、参数求导，均需相应的收敛或一致控制条件。

## 2. 对数正弦积分

记 $I=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin x)\,dx$。变换 $x\mapsto\frac\pi2-x$，得到相同的余弦积分。两式相加：

$$
\begin{aligned}
2I&=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin x\cos x)\,dx\\
&=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin 2x)\,dx-\frac\pi2\ln2\\
&=\frac12\int_0^\pi\ln(\sin u)\,du-\frac\pi2\ln2\\
&=I-\frac\pi2\ln2.
\end{aligned}
$$

因此

$$
\boxed{\int_0^{\pi/2}\ln(\sin x)\,dx=-\frac\pi2\ln2},\qquad
\int_0^\pi\ln(\sin x)\,dx=-\pi\ln2.
$$

对数在端点发散，但积分依然收敛。

## 3. Dirichlet 积分：给振荡函数增加衰减

定义

$$F(a)=\int_0^\infty e^{-ax}\frac{\sin x}{x}\,dx,\quad a>0.$$

在满足换序/微分正当性的情形下，

$$F'(a)=-\int_0^\infty e^{-ax}\sin x\,dx=-\frac1{1+a^2}.$$

因为 $F(a)\to0$（$a\to\infty$），所以

$$F(a)=\frac\pi2-\arctan a.$$

令 $a\downarrow0$（需证明 Abel 型极限与原反常积分一致），得到

$$\boxed{\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx=\frac\pi2}.$$

关键思想：引入参数，把“不好积分”的 integrand 变成可对参数求导的表达式。

## 4. Gamma 与 Beta 函数

$$\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt\quad(s>0).$$

分部积分给出 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$，所以整数 $n\ge0$ 满足 $\Gamma(n+1)=n!$。

$$B(p,q)=\int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,dt
=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\quad(p,q>0).$$

二者把整数阶乘推广为连续参数积分，也能统一高斯核与幂函数积分：

$$\int_0^\infty x^m e^{-ax^2}\,dx=
\frac12 a^{-(m+1)/2}\Gamma\left(\frac{m+1}{2}\right)\quad(a>0,m>-1).$$

## 5. 高斯积分与 Fourier 变换

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi.$$

取 $G(\omega)=\int_\mathbb R e^{-x^2}e^{-i\omega x}\,dx$。对 $\omega$ 求导并分部积分：

$$G'(\omega)=-i\int x e^{-x^2}e^{-i\omega x}\,dx=-\frac{\omega}{2}G(\omega).$$

由 $G(0)=\sqrt\pi$ 得

$$\boxed{G(\omega)=\sqrt\pi\,e^{-\omega^2/4}}.$$

这同样是“参数 → 微分方程 → 初值”的路线。

## 6. Frullani 公式

在适当收敛条件下，若 $a,b>0$ 且端点极限存在，

$$
\int_0^\infty\frac{f(ax)-f(bx)}x\,dx
=\bigl(f(0)-f(\infty)\bigr)\ln\frac ba.
$$

例如选 $f(t)=e^{-t}$，则

$$\int_0^\infty\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}x\,dx=\ln\frac ba.$$

这提示我们：两个各自不好积分的项，其**差**却可能很好处理。

## 用总变差处理含绝对值的振荡导数积分

对正整数 $n$，考虑

$$
I_n=\int_{e^{-2n\pi}}^1
\left|\frac{d}{dx}\cos(\ln x)\right|\,dx.
$$

链式法则给出

$$\frac{d}{dx}\cos(\ln x)=-\frac{\sin(\ln x)}x.$$

令 $t=\ln x$，$dt=dx/x$，原积分变为

$$
I_n=\int_{-2n\pi}^{0}|\sin t|\,dt
=n\int_0^{2\pi}|\sin t|\,dt
=\boxed{4n}.
$$

这不是依赖振荡抵消的积分，而是计算曲线的**总变差**。因绝对值使正负面积不再抵消，每一个完整周期都贡献 $4$。遇到绝对值积分时，先分清是否应利用周期性而不是盲目套原函数。

## Basel 级数与二重反常积分

单位方形积分

$$
\int_0^1\!\!\int_0^1\frac{dx\,dy}{1-xy}
=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}
=\frac{\pi^2}{6}
$$

可以通过几何级数、非负项换序、非线性 Jacobian 变换联合推导。完整求值和收敛注意事项见 [多元微积分、向量分析与重积分](/doc/dc23b6f)。