# 多元微积分、向量分析与重积分

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本章把多元函数的导数、梯度与 Hessian、散度与旋度、积分定理、对称区域上的重积分，以及非线性变量代换组织成一条主线。与一元分析相比，核心变化是：**导数由数变成线性映射，积分由一条轴变成几何区域**。

## 1. 从偏导数到全微分

设 $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，$a\in\mathbb R^n$。若存在线性映射 $A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$，满足

$$
f(a+h)=f(a)+Ah+r(h),\qquad
\lim_{h\to0}\frac{\|r(h)\|}{\|h\|}=0,
$$

则称 $f$ 在 $a$ 处 **Fréchet 可微（全微分存在）**。这里 $A=Df(a)$ 是唯一的线性映射，在标准基下就是 Jacobian 矩阵。

关键之处不是写出偏导，而是证明误差 $r(h)$ 比 $\|h\|$ 更高阶：$r(h)=o(\|h\|)$。仅有各个偏导存在，并不足以保证全微分存在。一个常用**充分条件**是偏导在某邻域存在并在该点连续。

当 $m=1$ 时，梯度

$$
\nabla f(a)=
\begin{pmatrix}
\partial f/\partial x_1\\
\vdots\\
\partial f/\partial x_n
\end{pmatrix}_{a},
\qquad Df(a)[h]=\nabla f(a)^\mathsf T h.
$$

因此一阶近似为 $f(a+h)\approx f(a)+\nabla f(a)^\mathsf T h$。梯度与等值面的法向量平行，因为沿等值面切向移动 $h$ 时，方向导数 $\nabla f\cdot h=0$。

## 2. Hessian 与多元二阶近似

标量函数的 Hessian 为

$$
H_f(a)=\left[\frac{\partial^2f}{\partial x_i\,\partial x_j}(a)\right]_{i,j=1}^n.
$$

若满足相应二阶可微性条件，

$$
f(a+h)=f(a)+\nabla f(a)^\mathsf T h+
\frac12h^\mathsf T H_f(a)h+o(\|h\|^2).
$$

在驻点 $\nabla f(a)=0$，正定 Hessian 给出严格局部极小，负定给出严格局部极大，不定矩阵说明该驻点是鞍点；半正定等情形不能仅凭二阶判别。

## 3. 向量分析：grad、div、curl 与 Laplacian

对三维向量场 $F=(F_x,F_y,F_z)$：

- **梯度** $\nabla f$ 将标量场变成向量场，指向函数增长最快的方向。
- **散度** $\nabla\cdot F=\partial_xF_x+\partial_yF_y+\partial_zF_z$，刻画单位体积的净流出趋势。
- **旋度** $\nabla\times F$ 刻画局部环流的方向与强度。
- **Laplacian** $\Delta f=\nabla\cdot(\nabla f)=\sum_i\partial^2_{x_i}f$。

例如 $f(x,y)=x^2+y^2-1$，则 $\nabla f=(2x,2y)$，为圆周上的法向量；$F(x,y)=(x,y)$ 的散度为 $2$。

如果 $F$ 在闭合区域及其边界上足够光滑，则 Gauss 散度定理：

$$
\iiint_V\nabla\cdot F\,dV=\iint_{\partial V}F\cdot n\,dS.
$$

Stokes 定理将曲面的旋度通量与边界环流联系起来：

$$
\iint_S(\nabla\times F)\cdot n\,dS=
\oint_{\partial S}F\cdot dr.
$$

须正确选取一致的边界方向。对含奇点的场，不可直接忽略区域内的奇点并套用这些定理，例如 $F(r)=r/\|r\|^3$ 在 $r=0$ 未定义。

## 4. 利用区域对称性计算二重积分

设 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le R^2\}$。极坐标 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ 下 $dA=r\,dr\,d\theta$，故

$$
\iint_D(x^2+y^2)\,dA
=\int_0^{2\pi}\int_0^R r^3\,dr\,d\theta
=\frac{\pi R^4}{2}.
$$

因旋转对称性，$\iint_Dx^2\,dA=\iint_Dy^2\,dA$，两项之和为上式，因此

$$
\iint_Dx^2\,dA=\iint_Dy^2\,dA=\frac{\pi R^4}{4},\quad
\iint_Dxy\,dA=0.
$$

于是对于任意常数 $A,B,C$，

$$
\boxed{\iint_D(Ax^2+Bxy+Cy^2)\,dA
=\frac{\pi R^4}{4}(A+C).}
$$

特别地，

$$
\iint_D\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)\,dA
=\frac{\pi R^4}{4}\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\right).
$$

这展示了对称性如何将复杂多项式积分化为几个基本矩。

## 5. 二重积分、级数与 Basel 问题

考虑单位方形上的非负反常积分

$$
I=\int_0^1\!\!\int_0^1\frac{1}{1-xy}\,dx\,dy.
$$

对 $0\le x,y<1$，几何级数展开为

$$\frac1{1-xy}=\sum_{n=0}^{\infty}(xy)^n.$$

因被积函数和级数各项非负，可以用 Tonelli 定理交换非负积分与求和：

$$
I=\sum_{n=0}^\infty
\left(\int_0^1x^n\,dx\right)
\left(\int_0^1y^n\,dy\right)
=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}.
$$

这给出了 Basel 级数的**积分表征**，但单凭这一步还没有求出级数和。

### 一种精巧的变量代换求值

再设

$$
J=\int_0^1\!\!\int_0^1\frac{1}{1-x^2y^2}\,dx\,dy.
$$

使用代数恒等式

$$\frac1{1-xy}=\frac1{1-x^2y^2}+\frac{xy}{1-x^2y^2}.$$

令 $u=x^2,v=y^2$，有 $xy\,dx\,dy=\frac14\,du\,dv$，因此

$$I=J+\frac14 I,\qquad I=\frac43J.$$

接着令

$$x=\frac{\sin u}{\cos v},\qquad y=\frac{\sin v}{\cos u}.$$

在内部 $0<x<1,0<y<1$ 上，对应的区域为三角形

$$T=\{(u,v):u>0,\ v>0,\ u+v<\pi/2\}.$$

其 Jacobian 行列式为

$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|
=1-\tan^2u\tan^2v=1-x^2y^2.$$

于是

$$J=\iint_Tdu\,dv=\frac12\left(\frac\pi2\right)^2
=\frac{\pi^2}{8}.$$

最终

$$\boxed{I=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.}$$

原方形顶点 $(1,1)$ 的被积函数有奇性，但该积分仍收敛；换序和变量代换宜先在内部或截断区域论证，再取极限。

## 6. 相关章节

- 极限、导数与渐近分析：从一元极限到可微性的基本思想。
- 积分的基本结构与技巧：变量代换、对称区间和积分策略。
- [反常积分、特殊函数与高斯积分](/doc/d2b392e)：反常积分的收敛与参数方法。
- 无穷级数与生成函数：级数展开与换序。
- [约束优化与 KKT](/doc/dc01cb9)：梯度法向量的几何意义。