# 看路口有多少人在等，能猜出红灯还剩多久吗？

> source: 想法/草稿/看路口等的人数-猜红灯还剩多久.md

> 引用块是作者原话，逐字；其余是 AI 整理。

## 问题

> 对于未知的t，即对应我们平时前往路口，看到有很多人在等红绿灯，通过判断人数的多少，可以大概知道还要等的时间是长是短，但由于人流是随机的泊松过程，我们不可能得到确定的时间，只能得到各个等待时间的概率，当有确定人数X聚集在路口时，当前路口红绿灯时间t的概率P(t)

> 虽然这是我自己在通勤途中蹦出来的想法，我想了解更多

## 为什么值得想

这是一个从生活里自己长出来的问题，没有人出题。它的答案带着一个违反直觉的地方，而且能连到排队论、贝叶斯推断、隐变量估计。

## 走到了哪

**2025-05** 第一次问，先从「每分钟累积 20 人」开始，让 AI 推了一遍泊松分布，然后才提出上面那个反过来的问题。

**2026-09** 把同样两个问题原样又问了一次，这次一路追了下去：

> 上面这两个问题有什么区别和联系吗

> 可以发现这不是对称的，有一半人的时候平均等待时间并不是总时间的一半，这是为什么

> 那么什么情况下会认为一个分布服从泊松分布？

> 如果是地铁站涌来大部分人群的时候，该怎么做

ChatGPT 当时的回答（AI 的话，摘要）：

- 两个问题是同一个过程的两个方向：给时间猜人数（正向），给人数猜时间（反向）。中间靠贝叶斯公式连接，反向还需要一个先验。
- 看到 $k$ 个人时，已过时间的后验大约是 $\mathrm{Gamma}(k+1,\lambda)$：峰值在 $k/\lambda$，平均值在 $(k+1)/\lambda$。以每分钟 50 人、看到 25 人为例，最可能还剩 30 秒，平均只剩约 28.8 秒。
- 不对称的原因：「看到已经有 25 人在等」和「第 25 个人刚到」是两种不同的观测。前一种情况下，第 25 个人可能已经到了一会儿。
- 这个模型里人越多，等得越短；排队结账则是人越多，等得越久。区别在于这里大家等的是同一个放行时刻。
- 交通工程里有现成的模型：固定周期信号灯队列（FCTL）。

## 转折

从「能不能算」到「为什么不对称」。第二次问的时候，作者注意到图上的峰值和平均值不在同一个地方，这是自己看出来的，不是 AI 先指出来的。

ChatGPT 在另一次对话（Voidbox）里把这个问题当成例子，说明个人网站该怎么放「问题」。所以这个问题也在第 3 条想法里出现了。

## 还没想通的

- 地铁站那种一波一波涌来的人流不是泊松过程。换成别的到达模型，「人越多越快放行」还成立吗？
- 实际路口有人等到一半走掉，有人闯红灯。这些会让估计偏向哪边？
- 能不能真的去一个路口记几天数据，看看模型准不准？这可以是一个小项目。
- 「从可见的数量反推不可见的时间」：作者身边还有哪些同样结构的东西？公交站、电梯口、外卖骑手。